
% THIS IS SIGPROC-SP.TEX - VERSION 3.1
% WORKS WITH V3.2SP OF ACM_PROC_ARTICLE-SP.CLS
% APRIL 2009
%
% It is an example file showing how to use the 'acm_proc_article-sp.cls' V3.2SP
% LaTeX2e document class file for Conference Proceedings submissions.
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% This .tex file (and associated .cls V3.2SP) *DOES NOT* produce:
%       1) The Permission Statement
%       2) The Conference (location) Info information
%       3) The Copyright Line with ACM data
%       4) Page numbering
% ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% It is an example which *does* use the .bib file (from which the .bbl file
% is produced).
% REMEMBER HOWEVER: After having produced the .bbl file,
% and prior to final submission,
% you need to 'insert'  your .bbl file into your source .tex file so as to provide
% ONE 'self-contained' source file.
%
% Questions regarding SIGS should be sent to
% Adrienne Griscti ---> griscti@acm.org
%
% Questions/suggestions regarding the guidelines, .tex and .cls files, etc. to
% Gerald Murray ---> murray@hq.acm.org
%
% For tracking purposes - this is V3.1SP - APRIL 2009

\documentclass{acm_proc_article-sp}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{color}
\begin{document}

\title{Simulando el Mercado de Acciones}
%
% You need the command \numberofauthors to handle the 'placement
% and alignment' of the authors beneath the title.
%
% For aesthetic reasons, we recommend 'three authors at a time'
% i.e. three 'name/affiliation blocks' be placed beneath the title.
%
% NOTE: You are NOT restricted in how many 'rows' of
% "name/affiliations" may appear. We just ask that you restrict
% the number of 'columns' to three.
%
% Because of the available 'opening page real-estate'
% we ask you to refrain from putting more than six authors
% (two rows with three columns) beneath the article title.
% More than six makes the first-page appear very cluttered indeed.
%
% Use the \alignauthor commands to handle the names
% and affiliations for an 'aesthetic maximum' of six authors.
% Add names, affiliations, addresses for
% the seventh etc. author(s) as the argument for the
% \additionalauthors command.
% These 'additional authors' will be output/set for you
% without further effort on your part as the last section in
% the body of your article BEFORE References or any Appendices.

\numberofauthors{6} %  in this sample file, there are a *total*
% of EIGHT authors. SIX appear on the 'first-page' (for formatting
% reasons) and the remaining two appear in the \additionalauthors section.
%
\author{
% You can go ahead and credit any number of authors here,
% e.g. one 'row of three' or two rows (consisting of one row of three
% and a second row of one, two or three).
%
% The command \alignauthor (no curly braces needed) should
% precede each author name, affiliation/snail-mail address and
% e-mail address. Additionally, tag each line of
% affiliation/address with \affaddr, and tag the
% e-mail address with \email.
%
%TODO: Hacer que se vean 2 filas de 3 autores
\alignauthor
Tom\'as Alvarez$^1$
       \email{talvarez@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Carlos Castro$^1$
       \email{cacastro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gabriel Cosi$^1$
       \email{gcosi@alu.itba.edu.ar}
\and
\alignauthor
Jos\'e Indalecio Liendro$^1$
       \email{jliendro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gast\'on Ponti$^1$
       \email{gponti@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Cristián Prieto$^1$
       \email{cprieto@alu.itba.edu.ar}
}
\date{31 Octubre 2011}
% Just remember to make sure that the TOTAL number of authors
% is the number that will appear on the first page PLUS the
% number that will appear in the \additionalauthors section.

\maketitle
{\color{white}\footnote[1]{ITBA}}


\begin{abstract}

En este artículo se analiza el comportamiento de un posible escenario perteneciente al ámbito bursátil. Mediante la generación de números pseudoaleatorios utilizando un GLC (Generador Lineal Congruencial) se muestra la evolución de una acción modelo a lo largo de diferentes períodos de tiempo de acuerdo a la simulación de Montecarlo. Este análisis es además repetido con otro generador de números pseudoaleatorios con otra distribución.\\

\end{abstract}

\keywords{Simulación de Montecarlo, pseudoaleatoriedad, simulaciones}

\section{Introducción}


En la actualidad, para la realización de simulaciones de diversos campos es fundamental contar con un generador de número aleatorios. Estos facilitan la tarea de simular, por ejemplo, el surgimiento de un evento del cual no se sabe con certeza en que momento puede ocurrir o incluso si ocurre o no. Sin embargo al ser una computadora un dispositivo determinístico, resulta imposible que pueda realizarse un generador de números aleatorios. Para dar una solución a esta cuestión es que se habla de una pseudoaleatoriedad, la cual nos asegura una simulación de un generador aleatorio, al menos para una cantidad acotada de números. \\\\

Sumado a este hecho es necesario formular conclusiones sobre los eventos que se están simulando. Aquí es donde entra en juego el análisis estadístico de las simulaciones.\\\\

En la segunda sección se desarrolla un análisis de un Generador Lineal Congruencial y del Método de Montecarlo.\\
En la tercer sección se desarrolla el Método de Montecarlo con un generador de números pseudoaleatorios con distribución Normal.
En la cuarta sección se muestran los resultados y conclusiones obtenidos por el mismo.

\section{Desarrollo}




\subsection{Generador Lineal Congruencial}

La siguiente expresión muestra un GLC de distribución uniforme:\\\\
\begin{equation}
x_{n+1} = ((2^{18}+1)x_{n}+1)  mod 2^{35}
\end{equation}\\
con $x_0 = 314159265$. se genera una secuencia ${u_i}$, con $i = 1, . . . , 10000$ en el intervalo
$(0, 1)$.
En la Figura 1 se muestra el histograma y en la Figura 2 los puntos generados por el GLC.\\

Durante el desarrollo de todo el análisis, las variables $u_i$ son muestras de una variable aleatoria uniforme con los valores dados según la ecuación (1).

\subsubsection{Test $\chi^2$ }
El test  $\chi^2$ es un contraste muy versatil de bondad de ajuste. Es decir, es un método para determinar si una
población está dada por cierta variable aleatoria como ser, uniforme, exponencial, normal, Poisson, etc.
El estadístico que usa el test  $\chi^2$ es:\\

\begin{equation}
\chi^{2}_0 = \sum_{i=1}^n \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
\end{equation}

donde los $O_i$ son la frecuencia de los números correspondiente a la i$-$ésima clase, $E_i$ es el valor esperado
(teórico) de la frecuencia en dicha clase y $n$ la cantidad de intervalos de clase.
Para el caso particular en que se contraste una distribución uniforme: $E_i = N/n$, siendo $N$ el número total
de observaciones.\\
Para ver si la distribución es uniforme se determina el valor critico $\chi^{2}_{n-1,\alpha}$. 
En nuestro caso tenemos que $n = 100$ y un nivel de cofianza del $\%95$  $(\alpha = 0.05)$. Entonces según el Test $\chi^2$
si $\chi^{2}_{0} < \chi^{2}_{99,0.05}$ se cumple que la distribución es uniforme.

Para nuestro GLC los resultados obtenidos fueron: $\chi^{2}_0 = 82.260$ y $\chi^{2}_{0} < \chi^{2}_{99,0.05} = 123.325$ por lo que la distribución es efectivamente uniforme.

\subsubsection{Análisis gráfico}
Los pares $(u_i,u_{i+1})$ y las ternas $(u_i,u_{i+1},u_{i+1})$ se ven representadas en las Figuras 3 y 4 respectivamente.\\
Con estos gráficos podemos obtener información sobre el comportamiento de la variable aleatoria en cuestión. Por ejemplo se pueden notar hiperplanos en la Figura 4 y ver en la Figura 3 que existe una relación entre dos números consecutivos de los generados por el GLC. Esto indica que de alguna forma se puede "predecir" aproximadamente el elemento $u_{n+1}$ teniendo ${u_n}$. Esta caracteristica hace que nuestro GLC no sea un buen generador de números pseudoaleatorios con distribución uniforme; aunque esto depende del uso que se le vaya a dar.

\subsubsection{Otros cómputos}
Se estimó la covarianza Cov($\mathbf{U,e^U}$) mediante simulaciones. $U \sim U[0,1]$.\\
El cálculo del coeficiente de correlación
\begin{equation}
\rho_{Ue^U} = \frac{\sigma_{Ue^U}}{\sigma_{U}\sigma_{e^U}}
\end{equation}

 da como resultado 6.9864. Esto significa que cuando la variable $U$ crece, la variable $e^U$ también lo hace. De esta manera se dice que están positivamente correlacionadas. \\

También se estimó para $U_i$ variables aleatorias uniformes en $(0,1)$ $E\left\{ N \right\}$ generando varios valores de $N$ tal que:\\
\begin{equation}
N = min(n)/\left\{ \sum_{i=1}^n U_i > 1 \right\}.
\end{equation}
Es decir, que $N$ es la cantidad de números aleatorios que hay que sumarse hasta
exceder 1. Como podemos apreciar en la Figura 5 $E\left\{ N \right\} \approx 3.7$ 


\subsection{Simulación de Montecarlo}
La evolución del valor de unas acciones varía diariamente siguiendo el esquema de la Tabla 1.
El beneficio debido a la acción en el día $t$ está definido por la ecuación:
\begin{equation}
\beta_t = p_t - p_0
\end{equation}
siendo $p_t$ el precio de la acción al día $t$ (cierre de jornada) y $p_0$ el precio inicial de la acción, en este caso $\$100$.\\\\
Simulamos para $n$ realizaciones cómo varía el beneficio medio mensual a medida que se va aumentando $n$. La aleatoriedad del cambio de cotización se simuló con el generador pseudoaleatorio detallado en la primer sección.\\
El criterio utilizado para indicar el número de simulaciones $n$, esta basado en $\sigma$, el desvío estandar. Cuando la diferencia de $\sigma$ entre dos realizaciones de la simulación es menor a $0.0001$ se considera que los datos existentes son suficientes para una correcta aproximación. Si bien $\sigma$ varia entre diferentes simulaciones, en la mayoria de los casos el criterio de corte se alcanza a las $35000$ realizaciones aproximadamente. Nos pareció un criterio adecuado ya que se sabe que en la Simulación de Montecarlo el error absoluto decrece inversamente proporcional a $\sqrt{N}$ y en nuestro caso los resultados convergen. Esto nos indica que la varianza también decrecerá, al igual que la desviación standard.\\\\ 
En las Figuras 6 y 7 se muestra el beneficio medio mensual y el beneficio medio día a día en función del número de realizaciones respectivamente. En ambos casos podemos ver como a medida que aumenta $n$ se converge a un valor. Esto explica también las gráficas de las varianzas ya que a medida que aumenta $n$, los beneficios medios calculados se parecen más entre sí, haciendo que la varianza disminuya. (Ver Figuras 8 y 9). 

\section{Anexo}

A modo de demostración de las posibles variaciones realizadas por la utilización de otro generador de números pseudoaleatio, a continuación se realizan las mismas simulaciones de la sección 2.2, con un generador con distribución normal dado por el algoritmo de Box-Muller. En las Figuras 10 y 11, se utiliza una distribución normal con un $\mu = 0.5$ y un $\sigma = 0.5$, siendo $\mu$ la media, y $\sigma$ la desviación estandar. Con estos parámetros, se obliga a tender a la ganancia de $\frac{1}{8}$, es por esto que el resultado tiende a un Beneficio Medio Acumulado Mensual de $590$. En cambio, si utilizamos un $\mu = 0.2$ y un $\sigma = 0.5$, se enfatiza el rango de probabilidades de pérdidas, lo que se ve en la Figura 10, con un beneficio de $422$. La explicación para el Beneficio Medio Acumulado Diario es análoga. 

\section{Resultados y Conclusiones}
De los análisis realizados obtuvimos que el Beneficio Medio Acumulado Mensual es de $636.7896$ con una varianza $\sigma^2=1.3684$ y que el Beneficio Medio Acumulado Diario es de $19.1667$ con una varianza $\sigma^2=0.0083$\\\\
Resulta muy interesante apreciar como a partir de muestras de datos aparentemente aleatorios se puede llegar a describir comportamientos de diferentes fenómenos. Por ejemplo  el generador GLC tratado en la sección 1 hubiese sido aplicado en la ruleta electrónica de un casino y una persona analizara los números obtenidos, podria tal vez encontrar un patrón de repetición ya que como vimos hay dependencia entre un número $u_i$ y el siguiente.\\\\
Con la simulación de Montecarlo podemos además encontrar soluciones aproximadas a muchos problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios. A diferencia de otros métodos, este se sabe que tiene un error dependiente del número de realizaciones. Esto hace que sea uno de los métodos más utilizados en las simulaciones.

\section{Referencias}

\begin{itemize}

\item{ www.wolframalpha.com }
\item{ Alejandro Raúl Díaz, Clase 3. Elementos de Probabilidad. 2007 }
\item{ Alejandro Raúl Díaz, Clase 4. Números Pseudo–aleatorios. 2007 }
\item{ Alejandro Raúl Díaz, Clase 5. Simulación de Montecarlo 2007 }

\end{itemize}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/histo.png}
\caption{Histograma}
\label{dinamica}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/pseudoNumbers.png}
\caption{Número pseudoaleatorio generado en cada paso del algoritmo}
\label{fpuntoa}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/glc2D.png}
\caption{$u_n , u_{n+1}$}
\label{ERPpuntoa}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/glc3D.png}
\caption{$u_n , u_{n+1} , u_{n+2}$}
\label{fpuntoc}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/EN.png}
\caption{$E\left\{ N \right\}$}
\label{fpuntod1}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/BeneficioMensual.png}
\caption{Beneficio Medio Acumulado Mensual}
\label{fpuntod2}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/VarianzaMensual.png}
\caption{Varianza del Beneficio Medio Acumulado Mensual}
\label{erppuntod}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/BeneficioDiario.png}
\caption{Beneficio Medio Acumulado Diario}
\label{fpuntoe}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/VarianzaDiaria.png}
\caption{Varianza del Beneficio Medio Acumulado Diario}
\label{erppuntoe}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/ComparacionMensual.png}
\caption{Beneficio Medio Acumulado Mensual con diferentes distribuciones}
\label{erppuntoe}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/ComparacionDiaria.png}
\caption{Beneficio Medio Acumulado Mensual con diferentes distribuciones}
\label{erppuntoe}
\end{figure*}


\begin{table*}[h] 
\label{tabla_acciones}
	\centering
\begin{tabular}{||c|c||}
\hline
\hline
Cambio en la cotización & Probabilidad \\ 
\hline
\hline
& \\
$-\frac{1}{8}$ & $\frac{3}{36}$ \\ 
& \\
sin cambios & $\frac{7}{36}$ \\ 
& \\
$+\frac{1}{8}$ & $\frac{16}{36}$ \\ 
& \\
$+\frac{1}{2}$ & $\frac{7}{36}$ \\ 
& \\
$+1$ & $\frac{3}{36}$ \\ 
& \\
\hline
\hline
\end{tabular}
\caption{Evolución de las acciones}
\end{table*}

\end{document}



=======
% THIS IS SIGPROC-SP.TEX - VERSION 3.1
% WORKS WITH V3.2SP OF ACM_PROC_ARTICLE-SP.CLS
% APRIL 2009
%
% It is an example file showing how to use the 'acm_proc_article-sp.cls' V3.2SP
% LaTeX2e document class file for Conference Proceedings submissions.
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% This .tex file (and associated .cls V3.2SP) *DOES NOT* produce:
%       1) The Permission Statement
%       2) The Conference (location) Info information
%       3) The Copyright Line with ACM data
%       4) Page numbering
% ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% It is an example which *does* use the .bib file (from which the .bbl file
% is produced).
% REMEMBER HOWEVER: After having produced the .bbl file,
% and prior to final submission,
% you need to 'insert'  your .bbl file into your source .tex file so as to provide
% ONE 'self-contained' source file.
%
% Questions regarding SIGS should be sent to
% Adrienne Griscti ---> griscti@acm.org
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% Gerald Murray ---> murray@hq.acm.org
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\documentclass{acm_proc_article-sp}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{color}

\begin{document}

\title{Simulando el Mercado de Acciones}
%
% You need the command \numberofauthors to handle the 'placement
% and alignment' of the authors beneath the title.
%
% For aesthetic reasons, we recommend 'three authors at a time'
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\numberofauthors{6} %  in this sample file, there are a *total*
% of EIGHT authors. SIX appear on the 'first-page' (for formatting
% reasons) and the remaining two appear in the \additionalauthors section.
%
\author{
% You can go ahead and credit any number of authors here,
% e.g. one 'row of three' or two rows (consisting of one row of three
% and a second row of one, two or three).
%
% The command \alignauthor (no curly braces needed) should
% precede each author name, affiliation/snail-mail address and
% e-mail address. Additionally, tag each line of
% affiliation/address with \affaddr, and tag the
% e-mail address with \email.
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%TODO: Hacer que se vean 2 filas de 3 autores
\alignauthor
Tom\'as Alvarez$^1$
       \email{talvarez@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Carlos Castro$^1$
       \email{cacastro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gabriel Cosi$^1$
       \email{gcosi@alu.itba.edu.ar}
\and
\alignauthor
Jos\'e Indalecio Liendro$^1$
       \email{jliendro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gast\'on Ponti$^1$
       \email{gponti@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Cristián Prieto$^1$
       \email{cprieto@alu.itba.edu.ar}
}
\date{31 Octubre 2011}
% Just remember to make sure that the TOTAL number of authors
% is the number that will appear on the first page PLUS the
% number that will appear in the \additionalauthors section.

\maketitle
{\color{white}\footnote[1]{ITBA}}


\begin{abstract}

En este artículo se analiza el comportamiento de un posible escenario perteneciente al ámbito bursátil. Mediante la generación de números pseudoaleatorios utilizando un GLC (Generador Lineal Congruencial) se muestra la evolución de una acción modelo a lo largo de diferentes períodos de tiempo de acuerdo a la simulación de Montecarlo. Este análisis es además repetido con otro generador de números pseudoaleatorios con otra distribución.\\

\end{abstract}

\keywords{Simulación de Montecarlo, pseudoaleatoriedad, simulaciones, realización de variables aleatorias}

\section{Introducción}


En la actualidad, para la realización de simulaciones de diversos campos es fundamental contar con un generador de número aleatorios. Estos facilitan la tarea de simular, por ejemplo, el surgimiento de un evento del cual no se sabe con certeza en que momento puede ocurrir o incluso si ocurre o no. Sin embargo al ser una computadora un dispositivo determinístico, resulta imposible que pueda realizarse un generador de números aleatorios. Para dar una solución a esta cuestión es que se habla de una pseudoaleatoriedad, la cual nos asegura una simulación de un generador aleatorio, al menos para una cantidad acotada de números. \\

Sumado a este hecho es necesario formular conclusiones sobre los eventos que se están simulando. Aquí es donde entra en juego el análisis estadístico de las simulaciones.\\

En la segunda sección se desarrolla un análisis de un Generador Lineal Congruencial y del Método de Montecarlo.\\

En la tercer sección se desarrolla el Método de Montecarlo con un generador de números pseudoaleatorios con distribución Normal.\\

En la cuarta sección se muestran los resultados y conclusiones obtenidos por el mismo.\\

\section{Desarrollo}




\subsection{Generador Lineal Congruencial}

La siguiente expresión muestra un GLC de distribución uniforme:\\

\begin{equation}
x_{n+1} = ((2^{18}+1)x_{n}+1)  mod 2^{35}
\end{equation}\\

con $x_0 = 314159265$. se genera una secuencia ${u_i}$, con $i = 1, . . . , 10000$ en el intervalo
$(0, 1)$.
En la Figura 1 se muestra el histograma y en la Figura 2 los puntos generados por el GLC.\\

Durante el desarrollo de todo el análisis, las variables $u_i$ son muestras de una variable aleatoria uniforme con los valores dados según la ecuación (1).

\subsubsection{Test $\chi^2$ }
El test  $\chi^2$ es un contraste muy versátil de bondad de ajuste. Es decir, es un método para determinar si una población está dada por cierta variable aleatoria como ser, uniforme, exponencial, normal, Poisson, etc.\\

El estadístico que usa el test  $\chi^2$ es:\\

\begin{equation}
\chi^{2}_0 = \sum_{i=1}^n \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
\end{equation}

donde los $O_i$ son la frecuencia de los números correspondiente a la i$-$ésima clase, $E_i$ es el valor esperado
(teórico) de la frecuencia en dicha clase y $n$ la cantidad de intervalos de clase.\\

Para el caso particular en que se contraste una distribución uniforme: $E_i = N/n$, siendo $N$ el número total
de observaciones.\\


Para ver si la distribución es uniforme se determina el valor crítico $\chi^{2}_{n-1,\alpha}$. 
En nuestro caso tenemos que $n = 100$ y un nivel de cofianza del $\%95$  $(\alpha = 0.05)$. Entonces según el Test $\chi^2$
si $\chi^{2}_{0} < \chi^{2}_{99,0.05}$ se cumple que la distribución es uniforme.

Para nuestro GLC los resultados obtenidos fueron: $\chi^{2}_0 = 82.260$ y $\chi^{2}_{0} < \chi^{2}_{99,0.05} = 123.325$ por lo que la distribución es efectivamente uniforme.

\subsubsection{Análisis gráfico}
Los pares $(u_i,u_{i+1})$ y las ternas $(u_i,u_{i+1},u_{i+1})$ se ven representadas en las Figuras 3 y 4 respectivamente.\\
Con estos gráficos podemos obtener información sobre el comportamiento de la variable aleatoria en cuestión. Por ejemplo se pueden notar hiperplanos en la Figura 4 y ver en la Figura 3 que existe una relación entre dos números consecutivos de los generados por el GLC. Esto indica que de alguna forma se puede "predecir" aproximadamente el elemento $u_{n+1}$ teniendo ${u_n}$. Esta característica hace que nuestro GLC no sea un buen generador de números pseudoaleatorios con distribución uniforme; aunque esto depende del uso que se le vaya a dar.

\subsubsection{Otros cómputos}
Se estimó la covarianza Cov($\mathbf{U,e^U}$) mediante simulaciones. $U \sim U[0,1]$.\\
El cálculo del coeficiente de correlación
\begin{equation}
\rho_{Ue^U} = \frac{\sigma_{Ue^U}}{\sigma_{U}\sigma_{e^U}}
\end{equation}

 da como resultado 6.9864. Esto significa que cuando la variable $U$ crece, la variable $e^U$ también lo hace. De esta manera se dice que están positivamente correlacionadas. \\

También se estimó para $U_i$ variables aleatorias uniformes en $(0,1)$ $E\left\{ N \right\}$ generando varios valores de $N$ tal que:\\
\begin{equation}
N = min(n)/\left\{ \sum_{i=1}^n U_i > 1 \right\}.
\end{equation}
Es decir, que $N$ es la cantidad de números aleatorios que hay que sumarse hasta
exceder 1. Como podemos apreciar en la Figura 5 $E\left\{ N \right\} \approx 3.7$ 


\subsection{Simulación de Montecarlo}
La evolución del valor de unas acciones varía diariamente siguiendo el esquema de la Tabla 1.
El beneficio debido a la acción en el día $t$ está definido por la ecuación:
\begin{equation}
\beta_t = p_t - p_0
\end{equation}
siendo $p_t$ el precio de la acción al día $t$ (cierre de jornada) y $p_0$ el precio inicial de la acción, en este caso $\textdollar100$.\\

Simulamos para $n$ realizaciones cómo varía el beneficio medio mensual a medida que se va aumentando $n$. La aleatoriedad del cambio de cotización se simuló con el generador pseudoaleatorio detallado en la primer sección.\\

El criterio utilizado para indicar el número de simulaciones $n$, esta basado en $\sigma$, el desvío estandar. Cuando la diferencia de $\sigma$ entre dos realizaciones de la simulación es menor a $0.0001$ se considera que los datos existentes son suficientes para una correcta aproximación. Si bien $\sigma$ varia entre diferentes simulaciones, en la mayoría de los casos el criterio de corte se alcanza a las $35000$ realizaciones aproximadamente. Nos pareció un criterio adecuado ya que se sabe que en la Simulación de Montecarlo el error absoluto decrece inversamente proporcional a $\sqrt{N}$ y en nuestro caso los resultados convergen. Esto nos indica que la varianza también decrecerá, al igual que la desviación standard.\\\\ 

En las Figuras 6 y 7 se muestra el beneficio medio mensual y el beneficio medio día a día en función del número de realizaciones respectivamente. En ambos casos podemos ver como a medida que aumenta $n$ se converge a un valor. Esto explica también las gráficas de las varianzas ya que a medida que aumenta $n$, los beneficios medios calculados se parecen más entre sí, haciendo que la varianza disminuya. (Ver Figuras 8 y 9). 

\section{Anexo}

A modo de demostración de las posibles variaciones realizadas por la utilización de otro generador de números pseudoaleatio, a continuación se realizan las mismas simulaciones de la sección 2.2, con un generador con distribución normal dado por el algoritmo de Box-Muller. En las Figuras 10 y 11, se utiliza una distribución normal con un $\mu = 0.5$ y un $\sigma = 0.5$, siendo $\mu$ la media, y $\sigma$ la desviación estandar. Con estos parámetros, se obliga a tender a la ganancia de $\frac{1}{8}$, es por esto que el resultado tiende a un Beneficio Medio Acumulado Mensual de $590$. En cambio, si utilizamos un $\mu = 0.2$ y un $\sigma = 0.5$, se enfatiza el rango de probabilidades de pérdidas, lo que se ve en la Figura 10, con un beneficio de $422$. La explicación para el Beneficio Medio Acumulado Diario es análoga. 

\section{Resultados y Conclusiones}
De los análisis realizados obtuvimos que el Beneficio Medio Acumulado Mensual es de $636.7896$ con una varianza $\sigma^2=1.3684$ y que el Beneficio Medio Acumulado Diario es de $19.1667$ con una varianza $\sigma^2=0.0083$\\\\
Resulta muy interesante apreciar como a partir de muestras de datos aparentemente aleatorios se puede llegar a describir comportamientos de diferentes fenómenos. Por ejemplo  el generador GLC tratado en la sección 1 hubiese sido aplicado en la ruleta electrónica de un casino y una persona analizara los números obtenidos, podría tal vez encontrar un patrón de repetición ya que como vimos hay dependencia entre un número $u_i$ y el siguiente.\\\\
Con la simulación de Montecarlo podemos además encontrar soluciones aproximadas a muchos problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios. A diferencia de otros métodos, este se sabe que tiene un error dependiente del número de realizaciones. Esto hace que sea uno de los métodos más utilizados en las simulaciones.

\section{Referencias}

\begin{itemize}

\item{ www.wolframalpha.com }
\item{ Alejandro Raúl Díaz, Clase 3. Elementos de Probabilidad. 2007 }
\item{ Alejandro Raúl Díaz, Clase 4. Números Pseudo–aleatorios. 2007 }
\item{ Alejandro Raúl Díaz, Clase 5. Simulación de Montecarlo 2007 }

\end{itemize}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/histo.png}
\caption{Histograma}
\label{dinamica}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/pseudoNumbers.png}
\caption{Número pseudoaleatorio generado en cada paso del algoritmo}
\label{fpuntoa}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/glc2D.png}
\caption{$u_n , u_{n+1}$}
\label{ERPpuntoa}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/glc3D.png}
\caption{$u_n , u_{n+1} , u_{n+2}$}
\label{fpuntoc}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/EN.png}
\caption{$E\left\{ N \right\}$}
\label{fpuntod1}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/BeneficioMensual.png}
\caption{Beneficio Medio Acumulado Mensual}
\label{fpuntod2}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/VarianzaMensual.png}
\caption{Varianza del Beneficio Medio Acumulado Mensual}
\label{erppuntod}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/BeneficioDiario.png}
\caption{Beneficio Medio Acumulado Diario}
\label{fpuntoe}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/VarianzaDiaria.png}
\caption{Varianza del Beneficio Medio Acumulado Diario}
\label{erppuntoe}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/ComparacionMensual.png}
\caption{Beneficio Medio Acumulado Mensual con diferentes distribuciones}
\label{erppuntoe}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/ComparacionDiaria.png}
\caption{Beneficio Medio Acumulado Mensual con diferentes distribuciones}
\label{erppuntoe}
\end{figure*}


\begin{table*}[h] 
\label{tabla_acciones}
	\centering
\begin{tabular}{||c|c||}
\hline
\hline
Cambio en la cotización & Probabilidad \\ 
\hline
\hline
& \\
$-\frac{1}{8}$ & $\frac{3}{36}$ \\ 
& \\
sin cambios & $\frac{7}{36}$ \\ 
& \\
$+\frac{1}{8}$ & $\frac{16}{36}$ \\ 
& \\
$+\frac{1}{2}$ & $\frac{7}{36}$ \\ 
& \\
$+1$ & $\frac{3}{36}$ \\ 
& \\
\hline
\hline
\end{tabular}
\caption{Evolución de las acciones}
\end{table*}

\end{document}

